有余数除法的试商例4
好的，下面给出一个余数除法的试商例4：
将 $x^4-3x^3+4x^2-5x+1$ 除以 $x^2-x+1$。
首先，我们将被除式和除式写成多项式形式：
$$x^4-3x^3+4x^2-5x+1=(x^2-x+1)(\\quad )+ (\\quad )$$
然后，我们需要找到一个二次多项式 $q(x)$，使得 $q(x)(x^2-x+1)$ 的次数小于等于 $x^4-3x^3+4x^2-5x+1$ 的次数，并且 $q(x)$ 的系数都是整数。为了找到 $q(x)$，我们可以按照以下步骤进行：
1. 将 $x^4$ 除以 $x^2$ 得到 $x^2$，将 $x^2(x^2-x+1)$ 得到 $x^4-x^3+x^2$，将这个结果减去 $x^4-3x^3+4x^2$，得到 $3x^3-3x^2$。
2. 将 $3x^3$ 除以 $x^2$ 得到 $3x$，将 $3x(x^2-x+1)$ 得到 $3x^3-3x^2+3x$，将这个结果减去 $3x^3-3x^2$，得到 $3x$。
3. 将 $3x$ 除以 $x^2$ 得到 $0$，将 $0(x^2-x+1)$ 得到 $0$，将这个结果减去 $0$，得到 $-5x+1$。
因此：
$$x^4-3x^3+4x^2-5x+1=(x^2-x+1)(x^2+3x)+(-5x+1)$$
所以，商为 $q(x)=x^2+3x$，余数为 $-5x+1$。