卡塔兰猜想

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814–1894）命名。历史上，清代数学家明安图(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”，远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”

介绍

卡塔兰猜想是比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰(Eugène Charles Catalan)在1844年提出的一个数论的猜想。它是说除了8=2^3，9=3^2，没有两个连续整数都是正整数的幂；以数学方式表述为： 不定方程x^a-y^b=1的大于1的正整数x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3。

也可以叫“8–9”猜想。

2002年4月， 帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库(Preda Mih?ilescu)证明了这猜想，所以它是定理了。这个证明由尤里·比卢(Yuri Bilu)检查，大幅使用了 分圆域和伽罗华模。

与卡塔兰猜想相似的有 费马大定理。

历史

在卡塔兰之前已有人考虑过类似的问题。

1320年左右，莱维·本·热尔松（Levi ben Gerson，1288年—1344年）证明2和3的幂之间只有8和9相差是1。

莱昂哈德·欧拉证明，x2 – y3 = 1只有一解：x = 3,y = 2。

勒贝格证明了方程xa – y2 = 1，a > 1 没有正整数解。

1965年柯召证明方程x2 – yb = 1，b > 1 只有一个解。

於是卡塔兰猜想只馀下a,b为奇素数的情况。

1976年罗贝特·泰德曼(Robert Tijdeman)证明卡塔兰猜想的方程只有有限个解。雷·斯坦纳(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奥特(Maurice Mignotte)也对这猜想作出贡献。

皮莱(Pillai)猜想：把卡塔兰猜想一般化，推测正整数的幂之间的差趋向无限大；换句话说，对任何正整数，仅有限多对正整数的幂的差是这个数。这猜想仍未解决。