贝努利

Bernoulli（贝努力）也译作（伯努利）

这是一个生产数学家和物理学家的部落，瑞士的一个产生过11个数学家的家族，有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲的姓氏。

名字

　　Bernoulli（伯努利） 家族　　

简介

　　John Bernoulli（约翰·伯努利）在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出，公开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi Bernoulli（加可比·伯努利），这两个人在学术上一直相互不忿，据说当年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi（加可比·伯努利）做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志好像是Leibniz（莱布尼兹）搞得，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后，John收到了5份答案，有他自己的，Leibniz的，还有一个L.Hospital（洛比塔）侯爵的（我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好像是他雇人做的，是个有钱人），然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳的，必然是Newton（牛顿）的，John自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子。”据说当年Newton从造币厂回去，看到了Bernoulli的题，感觉浑身不爽，熬夜到凌晨4点，就搞定了。这么多解答当中，John的应该是最漂亮的，类比了Fermat（费马）原理，用光学一下做了出来。但是从影响来说，Jacobi的做法真正体现了变分思想。　　Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（丹尼尔·伯努利）（他是John Bernoulli的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoulli。"那个人当时就怒了，说：“我是还是Issac Newton（牛顿）呢。”Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历，把它当作自己曾经听过的最衷心的赞扬。　　John & Jacobi这两个Bernoulli人，都算不出来自然数倒数的平方和这个级数，Euler从他老师John那里知道的，并且给出了π2/6这个正确的答案。

后续

　　法国有一个哲学家，叫做Denis Diderot（丹尼斯·狄德罗），中文的名字叫做狄德罗，是个无神论者，这个让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请Euler来教育一下Diderot（丹尼斯·狄德罗），其实Euler本来是弄神学的，他老爸就是的，后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲，才让Euler做数学了。Euler邀请Diderot来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，然后，在众人面前说：“先生，( a + bn ) / n = x，因此上帝存在；请回答!”Diderot自然不懂代数，于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家，他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎

不等式

定理1

 

定理2

定理3

 

试验

        如果一个试验中只关心某个事件Ａ是否发生，那么称这个试验为贝努利试验，相应的数学模型称为贝努利模型．

　　对随机实验中某事件是否发生，试验的可能结果只有两个，这种只有两个可能结果的实验称为贝努利试验。

　　重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变，“独立”的意思是指是指各次试验的结果是相互独立的，这种试验所对应的数学模型成为贝努利概型。有时为了突出实验次数n，也称为ｎ重贝努利试验。

　　在n重贝努利试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，它可以取0、1、2……n共n+1个可能值。关于贝努利试验，有如下的重要定理。

　　对于贝努利概型，事件A在n次试验中发生ｋ次的概率为 Pn（k）＝Cnkpkqn-k　（0≤k≤n）　(公式1)

　　事件A至多出现m次的概率是　m　P｛0≤ξ≤ｍ｝ ＝ ∑Cnkpkqn-k　(公式2)　

　　K=0　事件A出现次数不小于ｌ不大于m的概率是　m　P｛l≤ξ≤ｍ｝＝ ∑ Cnkpkqn-k　(公式3)　

　　K=l　贝努利分布的期望 E(ξ)＝np　(公式4)　

　　给定出现A的几率为p，用上面的公式就可以计算出试验次数为n时的几率。

　　当n为偶数时，计算公式为　n　P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝ ∑ Cnkpkqn-k　(公式5)　

　　K=n/2　当n为奇数时，计算公式为　n　P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝ ∑ Cnkpkqn-k　(公式6)　

　　K=n/2+1　其中K=n/2+1取整数。

伯努利原理

 

丹尼尔·伯努利在1726年首先提出的原理的内容是：在水流或气流里，如果速度小，压力就大，如果速度大，压力就小。